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數學

圓的基本性質

圓的基本名詞

圆上的弦

这就是你课本上的五个结论的证明，wine不选必须允许图像 我们先休息一下一会看看那个例题 嗯好 我去洗个澡吧 好一会叫我

：OM垂直AB，所以AM等于BM， AB/2=18/2=9, AM=9, $15^2=DM^2+AM^2$, $15^2=OM^2+9^2$, $OM=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12CM$

这个式子在左右两边用一个$就可以了好滴还省事知道啦应该没有问题，明天看下一章，应该看看作业，这个例题太简单了，确实，只要是我会的都简单重开妹妹很聪明也很努力呢 真的假的当然是真的啦 好滴我们明天再继续 嗯嗯晚安 晚安

你左右两边对照，用$包括起来的式子字体和没有的不一样，平方也显示出来了 好

根号是\sqrt{xxx}你先用$把公式包括起来，还是不懂哪里不懂 $A^2+B^2$你直接用^后面跟指数就行好的 我看看二次怎么打，在哪里你用latex吧

        有问题吗 

            你看在这里才用的结论，因为上面我们已经证明过了 知道啦

        你看4和5也是相反的哦哦4是知道弦长相等求与圆心等距，5是知道与圆心等距求弦长相等ok


你看这个结论和上面的是不是完全相反的，上面是知道垂直证明平分，下面是知道平分证明垂直 哦哦

我们刚才讲的第一个结论，现在将第二个ok，你看图，看起来AC是垂直于DO的，但是如果出题人不给条件的话，只能当成未知的来看，看起来相等的不一定相等，只有经过证明的才可以说相等或者垂直ok

填空 先找的一条弦：AB 圆心：O 以圆心为顶点，_AB__为端点的角：角AOB 这个端点也是要找的弦的两个端点 是不是这个 对 就是垂直平分线的性质最后一个，由垂直平分证明过圆心！！！！哦哦！！！

圓心角，指頂點在圓心上的角，因為頂點在圓心上，所以角的兩邊與圓的半徑共直線[1][2]。你学圆心角了吗 有的圆心角的概念和圆周角近似

区别：圆心角的顶点是圆心，是唯一的固定的，不在圆上。圆周角的顶点是除弦的端点之外的任意在圆上的点 ///？好不好 什么好不好区别 明白吗 明白

填空 在圆上的点： 先找的一条弦： 圆心： 以圆心为顶点，____为端点的角：

points on circle without point C,A 就是圆上有三个点ABC，我们为了找圆周角取了一条弦AC，去掉点AC后还剩点B (A,B,C)-(A,C)=(B) hao

如果要找圆周角的话，可以先找一条弦，然后再找除了这条弦的两个端点以外的在圆上的点，然后两个端点与另外的圆上的点连线，就可以构造圆周角

填空 在圆上的点：C A B 先找的一条弦：AB 除了这条弦的两个端点以外的在圆上的点： 以B为顶点，AC为端点的角：

points on circle without point C,A 就是圆上有三个点ABC，我们为了找圆周角取了一条弦AC，去掉点AC后还剩点B (A,B,C)-(A,C)=(B) hao

如果要找圆周角的话，可以先找一条弦，然后再找除了这条弦的两个端点以外的在圆上的点，然后两个端点与另外的圆上的点连线，就可以构造圆周角

弦和圆周角构成了一个三角形，

  1. 圆周角是顶点在圆上，两条边与圆相交的角，所以这两条边每一条边的其中一个顶点重合，就是这个圆周角的顶点。

有没有问题 没有

  1. 两条边的另外一个端点与圆相交，那他们必定在圆上，这两个点是在圆上的点，
  2. 根据弦的定义：若一线段的两个端点都在曲线上，则该线段称作该曲线的弦。我们把另外两个点连成线段，则这个线段是圆的弦

有没有问题没有

  1. 现在有三条边，分别是圆周角的两条边和新画的一条弦，这三条边可以构成一个三角形，弦所对的角就是圆周角
  2. 如果要找圆周角的话，可以先找一条弦，然后再找除了这条弦以外的在圆上的点，然后两个端点与另外的圆上的点连线，就可以构造圆周角 明白
  3. 同理可得，所有圆周角一定对应着一条弦 明白

圆上的角

为了找圆周角，我们先要确定两边与圆相交的点，对不对 对。我们要找小弧AB的圆周角，我们是不是就知道两边与圆相交的点是点A点B了嗯嗯，我们已经找到了两边与圆相交的点，下一步要找什么了？我也不知道，你看 我头晕了那我们休息一会吗 我看不懂猪脑过载

确定一条直线需要几个点：2个 确定一个角需要几个点：3个 我们先找了两个在边上的点，你看角APB，我们先找的AB，就是小弧的两端，因为我们要找小弧AB的圆周角，所以小弧AB的两端就是将来的圆周角的两个在边上的点

且两边和圆相交的角，就是交点

这样呢？要不 我明天再慢慢那看好呀那我们明天继续qq聊嗯

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角

这是不是就两个条件，第一顶点在圆上，第二两边与圆相交。 我们刚才找到了第几个条件？第一个你从头开始读

我们看小弧AB，除了小弧AB，在圆上的点是不是都在大弧AB上？是

P和Q都是除小弧AB的任意在圆上的点，所以APB和AQB都是弧AB所对的圆周角，到这里呢 我也不知道

，同一条弧所对的圆周角处处相等。对不对 是吧

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角

顶点在圆上，这是不是一个点了？是 两边与圆相交，是不是又两个交点？是的

优弧是大于半圆的弧。优弧的圆心位于弧与弦连接成的封闭图形之内34。表示优弧时用三个字母来表示1。与优弧相对的是小于半圆的弧，叫做劣弧1345。半圆没有优劣弧之分34。

我们找小弧AB的，下面的比较小的弧是不是一个劣弧，他比半圆小？是的 我们找小弧AB的圆周角，首先要找圆周角与圆相交的两个点，也就是劣弧AB的端点：AB BA端点就没有顺序了 点A，点B端点不就是两个吗 嗯嗯 然后再找圆周角的顶点，我们要在另一个弧上去找，也就是优弧AB，他是红色的那一段还是蓝色的那一段？蓝色的。 P和Q在上面吗对 那我们找到了圆周角的三个点，三个点是不是可以确定一个角了 嗯嗯 那PAB三个点组成的圆周角是什么？角pab，这个角的顶点是什么？p真的是p吗 那是a对

角通常用三個字母表示：兩條邊上的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間。

a点是不是端点呀！是的b点也是端点呀！顶点呢

然后再找圆周角的顶点，我们要在另一个弧上去找，也就是优弧AB，他是红色的那一段还是蓝色的那一段？蓝色的。

顶点首先在圆上，其次不在小弧AB上（因为我们要找的小弧AB所对的圆周角），整个圆减去小弧AB，那就只剩下大弧AB了，所以顶点要在大弧AB上找。对不对：知道啦 我们看右边的图，什么点在大弧AB上？P Q <– 这两个点是不是顶点？是，那一个角有几个顶点？1个。这两个顶点可以组成几个角？2个 我们知道了什么端点：A B 那小弧AB所对的圆周角有什么？以顶点P和端点AB的角是什么：角APB，以顶点Q和端点AB为条件的角是什么？角AQB。是不是有这两个呀嗯嗯。你再从头看一遍梳理一下。好 看完了

小弧PA的圆周角有什么？角PBA 角AQB的端点是什么？ 你看我们讲弧AB的圆周角，是不是都是A什么B呀？嗯嗯，那PA的圆周角，是是不应该是P什么A呀？懂了。那个什么是什么？那只有PBA吧，如果连接PQ呢？PQA。如果你们考难题的话，PQ题目不会给你连的，但是除了PA，只有QB在大弧AB上，所以理论上有两个圆周角，因为有两个顶点。嗯嗯

同一条弧所对的圆周角，有什么性质？我也不知道，你看右边的图，是不是讲了，同弓形内的圆周角相等 好滴。同一条弧所对的圆周角都相等。相等不重要，我们弄清楚的是到底哪些角是同一条弧所对的圆周角。知道啦。我们看看题 qq?zhaoyixia你登录吧 你跟他玩王者吧不看了吗没事的找一道你没写的

所有的区间边界点都可以统称为端点，所有的线是不是由点组成的？是的，那我们看劣弧AB，是不是可以看成从点A到点B的一系列点？嗯嗯，还可以看成什么？是不是还可以看成从点B到点A的一系列点呀？这两句话有什么区别，这完全不同呀，你从家里到学校，和从学校到家里，走的是同一条路线，但是方向不同呀！好吧好吧我知道了。他有两个方向的，你们以后要是学了向量，向量只有一个方向，开始和结束的点就是固定的了。嗯嗯

找不到了，你找一找 找什么找什么呀!12.4的 ‘

弧、弦与角的关系

  1. 等角对等弧：若角AOB=角COD，则弧AB=弧CD
  2. 等弧对等角：若弧AB=弧CD，则角AOB=角COD

上面这两个是不是互为逆定理 对 这个怎么证明呢 好奇怪呀，我不会证明这个 我更不会！但是我们一眼就看出来这是真理 这是真理。

  1. 等角对等弦：若角AOB=角COD，则AB=CD
  2. 等弦对等角：若AB=CD，则角AOB=角COD

上面这两个是不是互为逆定理是的

  1. 等弧对等弦：若弧AB=弧CD，则AB=CD
  2. 等弦对等弧：若AB=CD，则弧AB=弧CD

正好六条 正好六条

如果我们知道第五条，就是我们知道了弧弦角任何一个相等，就可以推出其他两个相等 好的

这也同理，你看题目是三者的关系，ABC任取两个，有多少不同的排列？角？

就是有ABC三个字母 是不是ABC ACB

ABC任取两个：取啥呀ABC是不是有三个，我们在这三个里取两个，你是在三个里去了三个再排列的，对不起我看不懂！

AB AC BA BC CA CB

应该是这样的 好吧 可是我不知道要取这个 这可能有点难，ABC任取一个再排列呢？就是我们先不重复的取可以取到 A B C，再排列的话，因为只有一个字母，每一种就只有一种排列 有没有道理 我还是没看懂什么意思 为什么要取他，先不管这个了，你说右边哪个题目 我给你画一下 好呀

弧、弦与角的关系 题目是不是三者的关系 嗯嗯，我们看箭头是不是有六个 对呢，每一个箭头对应着一条定理，你看弦和弧之间箭头方向是相反的，这两个就互为逆定理，哦哦！

  1. 弧与所对的圆心角成比例

这个也是真理，其实可以通过圆的对称性来证明

  1. 弧与所对的圆周角成比例

因为圆周角是圆心角的一半

就是 AB:CD = x:y，xy是圆心角，他们的圆周角就是x/2和y/2，代到式子里就是 AB:CD = x/2 : y/2，正好约掉。好

看看下一节我发你吗我找不到了

圆内接四边形

对不对 对，如何证明？（用什么定理，你说出定理就不用证了）圆内接四边形对角？对，证明他们是互补的 好滴

定理：有没有思路 圆内接四边形对角 圆内接四边形外角 我以为你会继续打下去

原来你不会呀 什么嘛 那你说如何证明？不知道 角A是什么角？角A=角C，角A和角C是对角还是邻角 对角 那按照这个定理，他们应该是互补的，什么是互补？ 加起来180°那角A+角C=180°对吗 对 他们为什么相等 因为是四边形的对角可是他们不是互补嘛 我混乱了！！！不相等，你好好看一看相等和互补是截然不同的 我知道啦 有一种情况他们是既相等又互补的，这时候角A是多少度？90 太聪明了！！！这是真理。这是真理。

角A是圆心角吗？不是 圆周角 对！！！角A 我画图 好

α+β=360° 对吗 对 紫色是劣弧BD，他的圆心角是：角BOD BOD是不明确的，它既指α，又指β，那α 圆周角是：BAD 劣弧BD的圆周角的端点是：B D 只有两个 你要想清楚了 劣弧BD的圆周角的顶点在哪里找？（B ） A. 劣弧BD， B. 优弧BD 优弧BD上有什么点？B C D BD已经是端点了，只有一个顶点，那么劣弧BD的圆周角是：角BCD?对 你看一看图，角BCD是不是劣弧BD所对的角 是的 你看这些基础概念还是要多看，就按照这个思路把所有情况列出来，就肯定不会错，对不对 对呀！

同理，优弧BD的圆心角：β吗对呀 好哒 圆周角：角DAB

根据圆周角是圆心角的一半这个定理，可得：

角A=1/2 角β 角C=1/2 角α

对不对对

我么又知道：α+β=360°

那么 α/2 + β/2 = ？180？对 为什么不肯定一点 我觉得不确定 可是就是两边同时除以二呀 好哒 我们每一步推理都是最基础的，定理

那么 A + C = 180 对吗对

是不是证毕了 是的吧！有没有道理 这是真理。你要多看才行，过几天整理一下打印出来 好呀 那我们说的话要删除了吗？反正是给自己看的 你想删吗 不想那就不删 好滴

我们看一点编程，就一点点 好滴

这个怎么证明？就是角BAD=角BCE 角BCE是ABCD外角

这是结论，要证明这个结论是正确的 圆内接四边形外角

就是因为什么所以BAD=BCE，这是证明 我也不知道

角BAD+角BCD=180度 对吗？怎么看出来的 这是不是ABCD是不是圆内接的四边形，BAD和BCD是不是对角？是的，所以他们互补相加为180度 明白了

角BCD+角BCE=180度 对吗？对

把上面两个式子合在一块，就可以得到角BAD=角BCE，这样就是证明了吗 对，我们不是已经得到了结论 知道啦

好了，可以保存到iPad上看 好呀 就在这里了 嗯呐谢谢

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圆上的弦

圆上的角

弧、弦与角的关系

  1. 等角对等弧：若角AOB=角COD，则弧AB=弧CD

  2. 等弧对等角：若弧AB=弧CD，则角AOB=角COD

  3. 等角对等弦：若角AOB=角COD，则AB=CD

  4. 等弦对等角：若AB=CD，则角AOB=角COD

  5. 等弧对等弦：若弧AB=弧CD，则AB=CD
  6. 等弦对等弧：若AB=CD，则弧AB=弧CD

知道了弧弦角任何一个相等，就可以推出其他两个相等

  1. 弧与所对的圆心角成比例

  2. 弧与所对的圆周角成比例

因为圆周角是圆心角的一半

圆内接四边形

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